Влияние замещающей миграции на старение населения Москвы и Санкт-Петербурга

В условиях глобализации и прогрессирующего старения населения возрастает роль миграции в воспроизводстве населения. Население России также демографически стареет, и едва ли следует ожидать в обозримом будущем значительного роста рождаемости. В этой связи особую важность приобретает регулирование миграционных потоков. В 2000 году Отделом народонаселения ООН была предложена концепция замещающей миграции, т.е. миграции, которая бы компенсировала уменьшение численности населения или иные нежелательные демографические явления [3].
Ниже приводятся результаты расчетов потоков замещающей миграции для Москвы и Санкт-Петербурга, обеспечивающих долгосрочную стабильную динамику населения этих городов. Полученные таким образом результаты анализа можно рассматривать и как долгосрочные прогнозные оценки.
В данной работе используется алгоритм расчетов, построенный на использовании расширенной матричной модели Лесли, учитывающей влияние на динамику населения не только процессов рождаемости и смертности, но и миграции. Модель обладает свойством эргодичности, обеспечивающим за счет асимптотической устойчивости долгосрочную стабильную динамику населения. Подробно данная методика описана в [3]; ниже мы приведем лишь краткое описание алгоритма.
Некоторые результаты исследования кратко изложены в [1; 9].
Модель и методы исследования
Будем рассматривать население (оба пола), для которого режимы естественного воспроизводства (показатели рождаемости и смертности) и миграционные потоки постоянны во времени. Примем, что время и возраст населения меняются с пятилетним интервалом ∆. Последняя возрастная группа – 85+.
Пусть n(t) = (n0(t), n1(t),…, nω(t)) – вектор возрастной структуры населения в момент времени t (здесь  – номер последней возрастной группы). Процесс возобновления поколений (воспроизводства населения) будет описываться уравнением:
,
где L – матрица Лесли (матрица «передвижки», см. [4; 5]), R = diag(r), где вектор возрастных коэффициентов миграционного прироста.
Матрица Lm при r  0 имеет лишь неотрицательные элементы, и ее математические свойства будут вытекать из теории неотрицательных матриц (см. [4]). В частности, в ее спектре имеется положительное собственное число 0, равное ее спектральному радиусу (ведущее собственное число), которому отвечает положительный правый собственный вектор u0. В дальнейшем будем предполагать, что r < 1 и r < 0.
При наличии отрицательных коэффициентов миграции матрица Lm имеет простое вещественное собственное число 0, и ему соответствует положительный собственный вектор. Чтобы исключить из рассмотрения периодические режимы, будем всюду ниже предполагать, что i = 1, 2,…, ω. При расчетах замещающей миграции для проверки этого предположения приходится вычислять спектр матрицы Lm. Многочисленные расчеты матрицы динамики, выполненные на реальных данных, показали, что сделанное нами предположение всегда выполнялось.
При сделанных предположениях матрица Lm будет обладать эргодическим свойством, то есть
.
Здесь через (v0, n(0)) обозначено скалярное произведение векторов, n(0) – вектор возрастной структуры исходного (базового) населения, v0 – левый собственный вектор, отвечающий собственному числу 0. Вектор v0 характеризует репродуктивную способность стабильного населения.
Благодаря эргодичности модели при больших t динамика стабилизируется, и население приобретает постоянный темп роста численности μ0, задаваемый ведущим собственным числом матрицы динамики Lm, и постоянную возрастную структуру, представляемую отвечающим μ0 собственным вектором u0. Возрастная структура стабильного населения не зависит от начального населения и полностью определяется режимами естественного воспроизводства и миграции.
Будем рассматривать стационарные населения, то есть стабильные населения постоянной численности. Очевидно, что предельное население будет стационарным, если ведущее собственное число 0 = 1. Будем считать, что нормировка собственного вектора u0 такова, что он представляет собой вектор возрастной структуры стационарного населения. В этом случае величина коэффициента π определяет его численность. Коэффициент π представляет собой отношение двух средних величин, характеризующих соответственно репродуктивную способность возрастной структуры исходного и стационарного населений. Так, если средняя репродуктивная способность стационарного населения больше, то π < 1, и численность стационарного населения будет меньше, чем численность исходного населения.
При помощи коэффициента π можно определить суммарную величину миграционных потоков, поддерживающих стационарность населения. Их величина определяется формулой (r, u0) π, из которой следует, что величина сальдо зависит как от суммарной численности стационарного населения π, так и от угла между вектором коэффициентов миграции r и вектором возрастной структуры стационарного населения u0.
Применяемые вычислительные алгоритмы определения миграционных потоков строятся на основе явных выражений для характеристического полинома матрицы динамики как функции коэффициентов миграции (здесь I – единичная матрица). Обозначим через ,  – соответственно номера первой и последней возрастных групп репродуктивного периода. Формула характеристического полинома имеет вид [2]:

Здесь через Фi, i = 0,1,2,…, обозначено среднее число детей, приходящихся на одного человека, пребывающего в начале периода в i-ой возрастной группе; Рi – вероятность того, что человек, находящийся в i-ой возрастной группе в начале периода, доживет до начала следующего периода (коэффициент дожития); l0 = 1, li =P0 P1 P2 …Pi-1, i = 1, 2,…, ω, – числа доживающих до возраста i. Коэффициенты Фi,= 0 для i = 0, 1, 2,…, – 1. Из приведенной формулы видно, что в предположении r <  0 ведущее собственное число будет определяться выражением Q1(Ф,l,r,1).
Задача определения замещающей миграции состоит в подборе таких коэффициентов миграционного прироста ri, i = 0, 1, 2,…, ω, которые при фиксированных параметрах естественного воспроизводства обеспечили бы стационарность населения. Ведущее собственное число определяется из уравнения Q1(Ф,l,r,1) = 0 (при фиксированных значениях Фi и li), что обусловливается тем, что при отсутствии лимитирования численность и структура населения в возрастах старше репродуктивного не влияют на динамику более молодых возрастов. Уравнение Q1 = 0 дополняется линейными уравнениями, задающими нужную возрастную структуру миграционных потоков, и получившаяся нелинейная система уравнений решается относительно ri. После вычисления ri необходимо провести спектральный анализ матрицы Lm и убедиться, что 0 = 1 действительно является максимальным по модулю собственным числом.
Определение коэффициентов миграционного прироста для возрастов старше репродуктивного, представляет собой самостоятельную задачу. В частности, они могут быть взяты из реальных профилей миграции или выбраны экспертным путем. В проведенных расчетах коэффициенты миграции для этих возрастных групп принимались равными реальным данным.
В работе рассматриваются следующие типы возрастных распределений миграционных потоков:
● uni: «равномерная» миграция, здесь компоненты вектора возрастных коэффициентов миграции r равны ri =1 – 0, i = 0, 1, …, ω, где 0 – максимальное собственное число матрицы Лесли L для модели, не учитывающей миграцию (ω – номер последней возрастной группы);
● obs: «реальное» распределение (компоненты r отражают соотношения миграционных коэффициентов в реальном населении);
● you: «молодежная» миграция (до 40 лет компоненты r совпадают с предыдущим типом, а для старших групп взяты так, чтобы поддержать минимальный, фоновый уровень миграции).
Отметим, что в сценариях с «равномерной» миграцией (тип миграции uni) возрастная структура стационарного населения совпадает со структурой стабильного населения при нулевой миграции.
Поскольку возрастные структуры стационарных населений полностью определяются режимами естественного воспроизводства и миграцией, мы можем, оценивая уровни близости (или отличия) структур, делать заключение о степени влиянии факторов, определяющих режимы воспроизводства.
Для сравнения возрастных структур различных населений удобно использовать обобщающие, интегральные показатели, позволяющие с помощью одного параметра охарактеризовать степень сходства или различия исследуемых структур.
Пусть X = (x1, x2,…, xn) и Y = (y1, y2,…, yn) векторы долевого состава. В качестве меры сравнения долевых структур примем величину

Очевидно, что 0  d  1. Поскольку d(X,X)  d(X,Y) т. е. значения показателя для идентичных долевых структур превосходят значения для неидентичных структур, то введенный показатель следует отнести к мерам сходства. Величина d показывает, насколько совпадают по своему строению рассматриваемые долевые структуры.
При проведении расчетов были использованы программы, разработанные в системе компьютерной математики Mathcad Professional. Расчеты основаны на данных Росстата.
Профили миграции для Москвы и Санкт-Петербурга
При расчетах в качестве базовых взяты население Москвы и Санкт-Петербурга в 2014 году. Возрастная структура населения, параметры его режима естественного воспроизводства и миграции составляют основной, базисный сценарий расчетов.
В табл. 1 приведены численность населения и некоторые основные демографические показатели для Москвы и Санкт-Петербурга в 2014 году.